Phương trình \(d_1\) : \(\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{-1}=\dfrac{z-3}{-1}\) dạng tham số: \(\left\{{}\begin{matrix}x=1+t\\t=2-t\\z=3-t\end{matrix}\right.\)

Gọi A là giao điểm d1 và (P), tọa độ A thỏa mãn:

\(3-t-1=0\Rightarrow t=2\Rightarrow A\left(3;0;1\right)\)

\(\overrightarrow{n_P}=\left(0;0;1\right)\) ; \(\overrightarrow{n_Q}=\left(1;1;1\right)\)

\(\overrightarrow{u_{\Delta}}=\left[\overrightarrow{n_P};\overrightarrow{n_Q}\right]=\left(-1;1;0\right)\)

\(\left[\overrightarrow{u_{\Delta}};\overrightarrow{n_P}\right]=\left(1;1;0\right)\)

Phương trình d: \(\left\{{}\begin{matrix}x=3+t\\y=t\\z=1\end{matrix}\right.\)

Mặt cầu tâm \(I\left(-1;2;2\right)\) bán kính \(R=3\), gọi \(r\) là bán kính đường tròn đáy và \(h\) là đường cao nón

Thực hiện mặt cắt qua trục khối nón ta được như hình bên dưới:

Đặt \(\widehat{MIH}=x\Rightarrow\widehat{NIK}=180^0-2x\)

\(r=MH=R.tanx=3tanx\)

\(IN=\dfrac{IK}{cos\left(180^0-2x\right)}=\dfrac{3}{-cos2x}\Rightarrow h=IN+IH=3-\dfrac{3}{cos2x}\)

\(V=\dfrac{1}{3}\pi R^2h=9\pi.tan^2x.\left(1-\dfrac{1}{cos2x}\right)=9\pi.tan^2x\left(1-\dfrac{1+tan^2x}{1-tan^2x}\right)\)

Đặt \(tan^2x=t>0\) và \(f\left(t\right)=t\left(1-\dfrac{1+t}{1-t}\right)=\dfrac{2t^2}{t-1}\Rightarrow f'\left(t\right)=\dfrac{2\left(t^2-2t\right)}{\left(t-1\right)^2}=0\Rightarrow t=2\)

\(f\left(t\right)_{min}=f\left(2\right)\Rightarrow V_{min}\) khi \(tan^2x=2\Rightarrow cos2x=\dfrac{1-tan^2x}{1+tan^2x}=-\dfrac{1}{3}\)

\(\Rightarrow IN=\dfrac{3}{-cos2x}=9\)

Do N thuộc \(\Delta\) nên tọa độ có dạng: \(N\left(2-t;-1+t;2+3t\right)\Rightarrow\overrightarrow{IN}=\left(3-t;t-3;3t\right)\)

\(\Rightarrow2\left(t-3\right)^2+9t^2=81\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=3\\t=-\dfrac{21}{11}\left(loại\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow N\left(-1;2;8\right)\)

Mặt phẳng (P) nhận \(\overrightarrow{IN}\) là 1 vtpt và cách I một khoảng bằng \(R=3\), bạn tự hoàn thành phần còn lại

Chọn C

* Ta có:  trong đó a;b;c không đồng thời bằng 0. Mặt cầu (S) có tâm I (1;2;3) và bán kính R=5.

Do mặt phẳng (P) chứa đường thẳng AB nên ta có:

* Bán kính đường tròn giao tuyến là  trong đó

Để bán kính đường tròn nhỏ nhất điều kiện là d lớn nhất  lớn nhất  lớn nhất.

Coi hàm số  là một phương trình ẩn c ta được

5mc²-2 (4m+1)c+ (8m-3)=0,

phương trình có nghiệm c  lớn nhất

<=> c = 1 => a = 0 => M = 2a + b – c = 1

\(\overrightarrow{u_{d1}}=\left(-1;1;1\right)\) ; \(\overrightarrow{u_{d2}}=\left(2;-1;-1\right)\)

\(\Rightarrow\left[\overrightarrow{u_{d1}};\overrightarrow{u_{d2}}\right]=\left(0;1;-1\right)\)

Do (P) song song \(d_1;d_2\Rightarrow\left(P\right)\) nhận \(\left(0;1;-1\right)\) là 1 vtpt

Phương trình (P) có dạng: \(y-z+c=0\)

Lấy \(A\left(2;0;0\right)\in d_1\) và \(B\left(0;1;2\right)\in d_2\)

Do (P) cách đều 2 đường thẳng \(\Rightarrow d\left(A;\left(P\right)\right)=d\left(B;\left(P\right)\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{\left|0-0+c\right|}{\sqrt{1^2+\left(-1\right)^2}}=\dfrac{\left|1-2+c\right|}{\sqrt{1^2+\left(-1\right)^2}}\Rightarrow\left|c\right|=\left|c-1\right|\)

\(\Rightarrow c=\dfrac{1}{2}\Rightarrow\) phương trình (P) có dạng: 

\(y-z+\dfrac{1}{2}=0\)

Bài này cần có 1 điều gì đó đặc biệt trong các đường - mặt để giải được (nếu ko chỉ dựa trên khoảng cách thông thường thì gần như bất lực). Thường khoảng cách dính tới đường vuông góc chung, thử mò dựa trên nó :)

Bây giờ chúng ta đi tìm đường vuông góc chung d3 của d1; d2, và hi vọng rằng giao điểm C của d3 với (P) sẽ là 1 điểm nằm giữa A và B với A và giao của d1 và d3, B là giao của d2 và d3 (nằm giữa chứ ko cần trung điểm), thường ý tưởng của người ra đề sẽ là như vậy. Khi đó điểm M sẽ trùng C. Còn C không nằm giữa A và B mà nằm ngoài thì đầu hàng cho đỡ mất thời gian (khi đó việc tìm cực trị sẽ rất lâu).

Quy pt d1 và d2 về dạng tham số, gọi A là 1 điểm thuộc d1 thì \(A\left(t+1;t+2;2t\right)\) và B là 1 điểm thuộc d2 thì \(B\left(t'+1;2t'+3;3t'+4\right)\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{AB}=\left(t'-t;2t'-t+1;3t'-2t+4\right)\)

\(\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u_{d1}}=0\\\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u_{d2}}=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}t'-t+2t'-t+1+2\left(3t'-2t+4\right)=0\\t'-t+2\left(2t'-t+1\right)+3\left(3t'-2t+4\right)=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}t=0\\t'=-1\end{matrix}\right.\)  \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}A\left(1;2;0\right)\\B\left(0;1;1\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\overrightarrow{BA}=\left(1;1-1\right)\)

Phương trình AB hay d3: \(\left\{{}\begin{matrix}x=1+t\\y=2+t\\z=-t\end{matrix}\right.\)

Giao điểm C của d3 và (P): \(2\left(1+t\right)+2\left(2+t\right)-2t-5=0\)

\(\Rightarrow C\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2};\dfrac{1}{2}\right)\)

Ủa, ko chỉ nằm giữa luôn, mà người ta cho hẳn trung điểm cho cẩn thận :)

Vậy \(M\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2};\dfrac{1}{2}\right)\)

Để tìm phương trình mặt phẳng (P) và tính bán kính đường tròn giao tuyến, ta cần tìm điểm giao giữa mặt cầu (S) và đường thẳng Δ. Đầu tiên, ta thay đổi phương trình đường thẳng Δ từ phương trình chính tắc sang phương trình tham số.

Phương trình tham số của đường thẳng Δ là: x = t y = 1 + t z = 1 + 2t

Tiếp theo, ta thay các giá trị x, y, z vào phương trình mặt cầu (S) để tìm điểm giao: (t)2 + (1 + t + 1)2 + (1 + 2t - 2)2 = 10 t2 + (t + 2)2 + (2t - 1)2 = 10 t2 + t2 + 4t + 4 + 4t2 - 4t + 1 - 10 = 0 6t2 + 4t - 5 = 0

Giải phương trình trên, ta tìm được t = 1/2 và t = -5/6. Thay t vào phương trình tham số của Δ, ta có các điểm giao là: Điểm giao thứ nhất: (1/2, 3/2, 5/2) Điểm giao thứ hai: (-5/6, 1/6, -1/6)

Tiếp theo, ta tìm phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm giao này. Sử dụng công thức phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm: (x - x1)(y2 - y1) - (y - y1)(x2 - x1) = 0

Điểm giao thứ nhất: (1/2, 3/2, 5/2) Điểm giao thứ hai: (-5/6, 1/6, -1/6)

Thay các giá trị vào công thức, ta có: (x - 1/2)((1/6) - (3/2)) - (y - 3/2)((-5/6) - (1/2)) + (z - 5/2)((-1/6) - (3/2)) = 0 -2x + 2y - z + 4 = 0

Vậy phương trình mặt phẳng (P) là: -2x + 2y - z + 4 = 0.

Tiếp theo, để tính bán kính đường tròn giao tuyến, ta tính khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng (P). Khoảng cách này chính bằng bán kính đường tròn giao tuyến.

Đặt điểm A là tâm mặt cầu (x0, y0, z0) = (0, -1, 2). Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P) được tính bằng công thức: d = |Ax + By + Cz + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2)

Thay các giá trị vào công thức, ta có: d = |(0)(-2) + (-1)(2) + (2)(-1) + 4| / sqrt((-2)^2 + 2^2 + (-1)^2) d = 5 / sqrt(9) d = 5/3

Vậy bán kính đường tròn giao tuyến là 5/3.

Vậy đáp án đúng là: (P): -2x + 2y - z + 4 = 0; r = 5/3

Chọn đáp án A.

Mặt phẳng (P) qua A và vuông góc d có phương trình:

\(2\left(x-1\right)+2\left(y+1\right)+1\left(z-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow2x+2y+z-1=0\)

Đường thẳng d' song song d và đi qua B (nên d' vuông góc (P)) có dạng:

\(\left\{{}\begin{matrix}x=4+2t\\y=2+2t\\z=-2+t\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\) Giao điểm C của d' và (P) thỏa mãn: 

\(2\left(4+2t\right)+2\left(2+2t\right)-2+t-1=0\Rightarrow t=-1\Rightarrow C\left(2;0;-3\right)\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{AC}=\left(1;1;-4\right)\Rightarrow\) là 1 vtcp của \(\Delta\Rightarrow\) D là đáp án đúng